Эконометрика

Глава 7. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ОДНОВРЕМЕННЫХ УРАВНЕНИЙ

7.3. Идентификация систем линейных одновременных уравнений: косвенный метод наименьших квадратов и проблема идентифицируемости

В предыдущем разделе мы упоминали о косвенном методе наименьших квадратов, идея которого состоит в следующем. Сначала получают оценки параметров приведенной формы модели, получая МНК - оценки параметров каждого уравнения приведенной формы независимо от остальных уравнений. Затем, используя эти оценки, получают оценки параметров структурной формы.

Рассмотрим этот метод подробнее. Предположим, что оценки коэффициентов матрицы П приведенной формы получены (для простоты условимся обозначать их теми же символами, что и теоретические значения этих коэффициентов). Коэффициенты структурной и приведенной форм связаны соотношением

(7.19)

где матрица B имеет размерность m x m, матрицы Г и П имеют размерности m x n. Соотношение (7.19) состоит из n x k линейных уравнений, которые в общем случае содержат m² - m неизвестных элементов матрицы B (с учетом условия нормировки) и m x k неизвестных элементов матрицы Г. Так как количество неизвестных больше числа уравнений, система (7.19) не имеет единственного решения, а это означает, что одним и тем же данным соответствует бесконечное множество наборов структурных коэффициентов. Тем неменее, в некоторых случаях, косвенный метод наименьших квадратов все же позволяет построить оценки коэффициентов структурной формы однозначно. Определим условия, при выполнении которых из системы (7.19) можно однозначно определить коэффициенты структурной формы.

Рассмотрим отдельное i-ое уравнение структурной формы (7.16). Оно имеет вид

Коэффициенты этого уравнения и коэффициенты соответствующей приведенной формы связаны соотношением

(7.20)

где - i-ая строка матрицы B, - i - ая строка матрицы Г. Уравнение (7.20) можно записать в блочном виде

или,

(7.21)

(7.22)

где , , , , - блоки матрицы П размерностей q x q, q x (k - p), (m - q) x p, (m - q) x (k - p) соответственно. Далее, предположим, что в структурной модели параметры (точнее, векторы параметров) и (здесь 0 - вектор из нулей). Тогда уравнения (7.21), (7.22) примут вид

(7.23)

(7.24)

Из системы (7.24) однозначно определить структурные параметры можно, если только уравнений системы не меньше, чем неизвестных. Поскольку количество неизвестных структурных параметров в системе (7.24) равно q - 1 (так как один параметр равен единице), то должно выполнятся условие

(7.25)

которое называется порядковым условием. Его выполнение является необходимым, но не достаточным условием идентифицируемости i-го уравнения модели, поскольку, если матрица в (7.24) вырожденная, то система (7.24) не имеет единственного решения.

Необходимыми и достаточными условиями существования и единственности решения системы (7.24) являются следующие:

(7.26)

(7.27)

здесь rank { } означает ранг матрицы.

Если необходимые и достаточные условия (7.26), (7.27) выполнены, то в этом случае говорят, что i -ое уравнение системы идентифицируемо точно.

Если же порядковое условие (7.25) выполняется со знаком строгого неравенства, при выполнении условия (7.27), то число уравнений системы (7.24) больше числа неизвестных структурных коэффициентов, и для их определения можно взять любые из q - 1 уравнений системы (7.24). Это означает, что некоторые из структурных коэффициентов могут быть выражены различными способами через коэффициенты приведенной формы. В этом случае говорят, что i - ое уравнение структурной формы сверхидентифицируемо.

После того, как найдены коэффициенты , коэффициенты легко определяются из соотношения (7.23).

Косвенный метод наименьших квадратов можно применять для оценивания структурных параметров системы одновременных уравнений только в случае выполнения необходимых и достаточных условий (7.26), (7.27) точной идентифицируемости каждого уравнения системы.

Если условия точной идентифицируемости не выполнены, то либо: а) система неидентифицируема, либо: б) система сверхидентифицируема. В том и другом случае косвенный МНК не позволяет оценить параметры уравнений однозначно.

К сожалению, только узкий класс систем удовлетворяет условию точной идентифицируемости. В частности, рассмотренные выше примеры систем одновременных уравнений этому условию не удовлетворяют. Например, структурные параметры модели Кейнса можно выразить из соотношений (7.10) двумя способами:

из второго соотношения получим

из третьего получим

Очевидно, ни одному из этих выражений нельзя отдать предпочтение.

Замечание.

Кроме условий точной идентифицируемости (7.26), (7.27), для корректного применения косвенного МНК, естественно, необходимо выполнение всех предпосылок обычного МНК (в противном случае нельзя получить оценки приведенной формы). Кроме того, матрица B структурной формы должна быть обратима.