Эконометрика

Глава 7. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ОДНОВРЕМЕННЫХ УРАВНЕНИЙ

7.2. Структурная и приведенная формы уравнений

Примеры записи систем одновременных уравнений в структурной и приведенной формах

Рассмотрим простейший статический вариант макроэкономической модели Кейнса. В этой модели предполагается, что народное хозяйство является системой закрытого типа без государственного регулирования экономики. Модель описывается следующими уравнениями

Уравнение поведения

(7.7)

Балансовое тождество

(7.8)

где

C(t) - личное потребление за период t,

Y(t) - национальный доход за период t,

I(t) - сумма инвестиций за период t,

a₁ - свободный член функции потребления, выражает автономное потребление,

a₂ - параметр, который называется предельной склонностью к потреблению.

u(t) - возмущения в функции потребления.

Уравнения (7.7), (7.8) записаны в структурной форме. Другие примеры структурных уравнений - рассмотренные ранее примеры систем одновременных уравнений (модель Самуэльсона-Хикса (6.4) - (6.7), модель Клейна (7.1) - (7.6)). В модели (7.7), (7.8) зависимая переменная первого уравнения C(t) в тоже время является объясняющей (незапаздывающей) переменной второго уравнения, а зависимая переменная второго уравнения Y(t) является объясняющей (незапаздывающей) переменной первого уравнения.

Рассмотрим задачу оценивания структурных параметров этой модели. Первое, что напрашивается - оценивать каждое уравнение модели (в данном случае, уравнение (7.7)) отдельно, рассматривая его как уравнение регрессии с переменной Y в качестве регрессора и используя обычный МНК, но такой подход дает смещенные оценки параметров структурной формы. Действительно, в силу того, что переменная Y зависит от C, которая, в свою очередь, зависит от случайной составляющей u, получается, что регрессор и случайный член модели - коррелированные переменные. Это нарушает предпосылку 5 (см. п. 3.1) регрессионной модели и приводит к смещению оценок.

Таким образом, вообще говоря, отдельное структурное уравнение модели нельзя непосредственно использовать для оценивания ее параметров, а также и для прогнозирования взаимозависимых переменных. Как можно поступить, чтобы избавиться от коррелированности регрессоров и случайной составляющей? Для этого уравнения структурной модели преобразуют таким образом, чтобы все эндогенные переменные были в левой части уравнений, а правые части содержали только предопределенные переменные и случайные составляющие. Такая форма записи систем одновременных уравнений называется приведенной или редуцированной формой модели.

Получим приведенную форму первого уравнения модели (7.7), (7.8). Подставим выражение для Y(t) из второго уравнения в первое и из получившегося уравнения выразим переменную C(t). В результате получим

(7.9)

где

(7.10)

Аналогично получим приведенную форму уравнения (7.8):

(7.11)

Система (7.9), (7.11) и есть приведенная форма модели (7.7), (7.8). Правые части уравнений приведенной формы (7.9), (7.11) не зависят от эндогенных переменных, а экзогенные переменные некоррелированы со случайным членом. Поэтому теперь каждое уравнение приведенной формы в отдельности можно использовать для оценивания ее параметров и прогноза зависимой переменной. Поскольку коэффициенты приведенной формы связаны известными соотношениями с коэффициентами структурной формы, то, зная их оценки, можно определить оценки коэффициентов структурной формы из соотношений (7.10), в которых истинные значения коэффициентов b заменяются их МНК - оценками. Такой метод оценивания параметров систем одновременных уравнений называется косвенным методом наименьших квадратов. Более подробно этот метод мы обсудим в следующем разделе.

Систему уравнений (7.9), (7.11) можно записать в матричной форме

где

Приведенная форма модели используется не только для оценивания параметров структурной формы, но и дополняет структурную модель в теоретико - экономическом смысле. Например, уравнение (7.9) приведенной формы модели Кейнса описывает явную зависимость функции потребления C(t) от объема инвестиций I(t), и его можно использовать для анализа этой зависимости, что не позволяет сделать структурная форма.

Получим приведенную форму динамической модели Самуэльсона-Хикса (6.4) - (6.7). Для этого вместо тождества (6.7) используем уравнение динамики национального дохода (6.8). Уравнения приведенной формы модели Самуэльсона-Хикса имеют вид:

(7.12)

(7.13)

(7.14)

(7.15)

или в матричном виде

здесь

Параметры приведенной формы связаны с параметрами структурной формы следующими соотношениями

Особенностью этой модели является то, что в правых частях уравнений приведенной формы (7.12) - (7.15) присутствуют эндогенные запаздывающие переменные Y(t-1), Y(t-2), матрица П - прямоугольная, а параметры структурной формы сохраняют свой смысл и в приведенной форме.

Общее представление систем одновременных уравнений в структурной и приведенной формах

Обобщая рассмотренные примеры, можно записать общий вид структурной формы модели

(7.16)

Система уравнений (7.16) связывает m эндогенных переменных y₁, y₂,...,y_m и k предопределенных переменных x₁, x₂,...,x_k. Напомним, что предопределенные переменные модели могут включать помимо экзогенных переменных, запаздывающие эндогенные переменные. Без потери общности можно положить коэффициенты , (i=1,2,…,m). Это условие называется условием нормировки.

Замечание

Вообще говоря, каждое из уравнений системы (7.16) может содержать отличное от других уравнений количество эндогенных и предопределенных переменных. Однако, что бы не усложнять обозначения, мы считаем, что в каждом уравнении количество эндогенных переменных равно m и количество предопределенных переменных равно k. Если же какая - либо переменная не присутствует в уравнении, то стоящий при ней структурный коэффициент равен нулю.

Систему (7.16) можно записать в матричной форме

(7.17)

где

Элементы матриц B и Г называются структурными коэффициентами системы (модели).

В уравнении (7.17) предполагается, что матрица B - невырожденная и, следовательно, существует обратная к ней матрица B^-1. Матричное уравнение (7.17) нетрудно преобразовать и получить его приведенную форму, умножив слева обе его части на матрицу B^-1. Получим

или

(7.18)

где матрица , вектор .

Система (7.18) называется приведенной формой модели, а элементы матрицы П представляют собой коэффициенты приведенной формы.

Характерным для уравнений приведенной формы является то, что правые части этих уравнений содержат только предопределенные переменные системы и не содержат незапаздывающих эндогенных переменных.